بررسی عملگرهای انتگرالی خاص و خواص هندسی آنها.

نظریه ی آنالیز مختلط‎‏‏، یکی از شاخه های مهم ریاضی است که با قدمتی نزدیک به دو قرن، کاربردهای فراوانی در سایر علوم از جمله فیزیک و مهندسی دارد. بی تردید می توان گفت که این نظریه پایه ای برای برخی شاخه های ریاضی (از جمله نظریه ی تحلیلی اعداد، نظریه ی منیفلدها، و نظریه ی هموتوپی) است. از دیگر زیر شاخه های این نظریه که مباحث تخصصی تر را شامل می شود می توان به نظریه ی توابع ‎‏هندسی، پیروی های دیفرانسیل، نظریه ی عملگرها، نظریه ی نگاشت های همساز، فضاهای هاردی و غیره اشاره نمود. در مبحث نظریه توابع هندسی یکی از موضوعات جالب، نظریه ی عملگرها و به خصوص عملگرهای انتگرالی است که در این حوزه پژوهشگران بسیاری وارد شده و مقالات فراوانی منتشر کرده اند. ما در ادامه و در طول پایان نامه به برخی از آن ها اشاره خواهیم کرد. به عنوان مثال، ‎ عملگر لیبرا‎fnote{lr{libera operator}}‎ ‎cite[صفحه ی 11]‎{bib:46‎‎}‏‎ به صورت:‎‎ ‎[l[f](z) = frac{2}{z}int_0^z {f(t)‎dt}, ‎(z in mathbb{d}) ]‎ تعریف می شود. عملگر برنارد‎ی‎‎fnote{lr{bernardi operator}}‎ ‎cite‎‏[صفحه ی 52]{bib:46}‎ که تعمیم عملگر لیبرا است، با ضابطه ی زیر تعریف می شود: ‎[{l_gamma }[f](z) = frac{{1‎ + ‎gamma }}{{{z^{gamma }}}}int_0^z {f(t){t^{gamma‎ - ‎1}}dt}, (‎ ee ‎gamma > ‎-1‎‎‎‎, ‎z in mathbb{d}). ]‎ در مورد عملگر اخیر، ثابت شده است که ‎$l_gamma$‎ کلاس توابع ستاره گون را به ستاره گون، توابع محدب را به محدب و توابع نزدیک به محدب را به نزدیک به محدب می برد که در آن ‎$op{re} gamma ‎geqslant‎‎ 0$‎ ‎cite[صفحه ی 67]{bib:46}‎‏‏، یا عملگر انتگرالی تعمیم یافته ی ‎[‎i‎[f](z) = {left( {frac{{eta‎ + ‎gamma }}{{{z^{gamma }}phi (z)}}int_0^z {{f^alpha }(t){t^{delta - ‎1}}varphi (t)dt} } ight)^{frac{1}{eta }}}]‎ را در نظر می گیریم که در سال ‎1978‎ توسط میلر‎fnote{lr{miller}}‎، موکانو‎fnote{lr{mocanu}}‎ و رد‎fnote{lr{reade}}‎ معرفی شده است ‎mbox{‎‎cite[صفحه ی 44]{‎‎bib:46‎}}‎. ‏در مورد این عملگر‏، با محدودیت هایی که روی پارامترهای ‎$alpha‎‎$‎‎‏‏، ‎$‎eta‎$‎‎‏‏، ‎$‎gamma‎$‎ و ‎$delta‎$‎ گذاشته می شوند، همراه با شرایطی دیگر روی توابع تحلیلی ‎$phi$‎ و ‎$varphi$‎، ثابت می شود که ‎$i$‎ کلاس توابع ستاره گون را به ستاره گون می برد. در مقالات متعدد دیگر، تک ارزی عملگرهای انتگرالی خاص بررسی شده است. به عنوان مثال می توان به کارهای صورت گرفته توسط بریز‎fnote{lr{breaz}}‎، آاوف‎fnote{lr{aouf}}‎، فراسین‎fnote{lr{frasin}}‎، پانو‎سومی‎fnote{lr{‎ponnusa‎my}}‎، راشو‎‏یه‎fnote{lr{ruscheweyh}}‎ و فورنییر‎fnote{lr{fournier}}‎ اشاره کرد. در این موارد، خواننده می تواند مراجع ‎cite{‎bib:11, bib:14, bib:15, bib:27, bib:29, bib:31, bib:33, bib:61, bib:63‎‎‎‎‎}‎ را ‏مورد مطالعه قرار دهد. مشابه همین سوالات، در این پایان نامه برای عملگرهای انتگرالی خاص روی زیر کلاس های خاصی از توابع تحلیلی مطرح و پاسخ داده شده است. ‎par‎ از مباحث دیگری که در این رساله مطرح گردیده است، عبارتند از پیروی های دیفرانسیل قوی و فوق پیروی های قوی. اگر چه کار روی پیروی ها و مباحث مربوط به آن ها به حدود ‎$‎80‎$‎ سال پیش بر می گردد ولی عمده پیشرفت و توسعه در این حوزه از سال ‎1981‎ به بعد و در مقاله ای با عنوان ‎qut‎ پیروی های‎‏ دیفرانسیل و توابع تک ارز ‎quti‎ ‎cite{bib:44}‎ بوده است که این مقاله پایه ای برای بیش از ‎$300$‎ مقاله در زمینه مربوطه تا سال ‎$2000$‎ بوده است. از آن پس مقالات متعددی در این زمینه توسط ریاضی دانان معروفی همچون میلر، موکانو، راشویه‏،‎ دورن‎‏‎‏‎‎‎‎fnote{lr{duren}}‏،‎ گودمن‎ ‎‎fnote{lr{goodman}}‎‎و پومرنک‎‎fnote{lr{‎pommernke}‎}‎‎‎‏ به چاپ رسیده اند. کار روی پیروی های دیفرانسیل قوی و فوق پیروی های قوی نیز از سال 1994 و پس از معرفی مفهوم آن توسط آنتونینو‎‎‎‎fnote{lr{antonino}}‎‎ و روماگورا‎‎fnote{lr{romaguera}}‎‎‎ در مقاله ی ‎cite{‎bib:10‎}‏،‎ توسعه یافته است. از جمله ریاضی دانانی که در این زمینه ها مقالات فراوانی را منتشر کرده اند می توان به کارهای اُرُس‎fnote{lr{oros}}‎، آنتونینو، سورش‎fnote{lr{suresh}}‎ و سریواستاوا‎fnote{lr{srivastava}}‎ و ... اشاره نمود. برای کسب اطلاعات بیشتر در موضوعات اخیر خواننده را به مراجع ‎cite{bib:8, bib:10, bib:38, bib:46, bib:53, bib:54‎‎‎‎}‎ ارجاع می دهیم. ‎par‎ عمده مطالبی که در این رساله به آن ها پرداخته خواهد شد، عبارت اند از: ‎‎ بررسی عملگرهای انتگرالی خاص همراه با خواص هندسی آن ها، چند نتیجه در مورد پیروی ها و فوق پیروی های قوی و کاربرد ضرب پیچشی. پایان نامه ی حاضر شامل چهار فصل به شرح زیر است: ‎par‎ در فصل اول، مفاهیم پایه و مقدماتی را که در فصل های آتی مورد نیاز خواهند بود آورده ایم. از آوردن اثبات لم ها، قضیه ها و مطالب اضافی صرف نظر کرده ایم و برای مطالعه ی جزئیات، خواننده را به منابع مورد نظر ارجاع داده ایم. ‎par‎ فصل دوم را به بررسی عملگرهای انتگرالی خاص و خواص هندسی آن ها اختصاص داده ایم. در بخش اول چند عملگر انتگرالی تعمیم یافته را روی زیر کلاس خاصی از توابع تحلیلی نرمالیزه در نظر می گیریم و با استفاده از محک هایی که برای تک ارزی موجود است، تک ارزی آن ها را بررسی می کنیم. در بخش دوم، دو عملگر انتگرالی مکرر را در نظر گرفته و با استفاده از شرطی که برای ستاره گونی توابع تحلیلی نرمالیزه موجود است، ستاره گونی آن ها را به همراه چند نتیجه ی دیگر بررسی می کنیم. بخش سوم این فصل را به یافتن مرتبه ی خانواده های خطی پایای مینیمال خاص اختصاص داده ایم. به علاوه، ارتباط بین مرتبه و شعاع تک ارزی و محدب واری را در این بخش خواهیم دید. توضیحات بیشتر و کامل تر در زمینه ی خانواده های خطی پایا و مرتبه ی خطی پایایی را می توانید در فصل اول ملاحظه کنید. ‎par‎ فصل سوم به پیروی های‏ دیفرانسیل قوی و فوق پیروی های قوی اختصاص یافته است. در بخش های اول و دوم این فصل، یک معادله ی دیفرانسیل مرتبه ی اول تعمیم یافته را در نظر می گیریم. سپس با توجه به محدودیت هایی که روی توابع تحلیلی مرتبط با این معادله‏ إعمال می شوند، پیروی ها و فوق پیروی های خاصی را نتیجه می گیریم. در هر مورد، مثال هایی برای درک بهتر موضوع مطرح کرده ایم. در بخش سوم، عملگر انتگرالی دو متغیره ی خاصی را در نظر گرفته و با استفاده از لم های موجود نشان داده ایم که این عملگر، پیروی ها و فوق پیروی های خاصی را حفظ می کند (ویژگی پایایی عملگر). سپس در ادامه، قضیه های افشردگی ‎(ساندویچی)‎ را در هر دو مورد مطرح کرده ایم. ‎par‎ در فصل چهارم، برخی از کاربردهای ضرب پیچشی توابع و عملگرها را بررسی کرده ایم. این فصل شامل دو بخش است. در بخش اول، دو عملگر انتگرالی دوگانه در نظر گرفته شده است. سپس با پیدا کردن شرایطی روی پارامترها و با استفاده از خواص ضرب پیچشی نشان داده شده است که این عملگرها ویژگی هایی از زیر‏ کلاس خاصی از توابع تحلیلی نرمالیزه را حفظ می کنند. در بخش دوم، ستاره گونی عملگرهای خاص را که با استفاده از ضرب پیچشی تعریف شده اند بررسی می کنیم. به علاوه، با استفاده از تکنیک حاصل ضرب های بلاشکه متناهی، دقیق بودن کران ها را در هر مورد ثابت می کنیم.